Moto2クラス1年目は7位を最高位にランキング13位。2年目の2018年はスピードアップチームに移籍すると、カタルーニャGPでグランプリ初優勝を達成。シーズン通算2回の表彰台に立ち、ランキング10位を獲得した。そして、2018年8月には、2019年から新チームのペトロナス・ヤマハSRTよりMotoGPクラスにステップアップすることが発表された。

　2019年、19歳のクアルタラロはテストからMotoGPマシンに順応し、第2戦アルゼンチンGPで8位に初入賞。第3戦アメリカズGPでは7位に入賞し、第4戦スペインGPでは初ポールポジションを獲得する。決勝でもトップ争いに加わったものの、レース中盤にマシントラブルに見舞われ、リタイアに終わった。

　決勝翌日に行なわれたオフィシャルテストでは、自身がスペインGPの予選Q2で記録したオールタイムラップレコード（1分36秒880）を上回る1分36秒379を記録した。次戦はホームグランプリとなるフランスGP。まだ、マルケスが持つ最高峰クラスの最年少優勝記録（20歳と63日）更新のチャンスを残している。

「決勝レースのフラストレーションが、素晴らしいテストで補われた。ル・マンが待ち切れない。マシンのライディングを楽しみ、走り続けたい」とクアルタラロ。

　バレンティーノ・ロッシ（モンスターエナジー・ヤマハMotoGP）は第1戦カタールGP開幕前の会見でクアルタラロについて次のように語っている。

「クアルタラロは若い。とても若いけど、MotoGPクラスに昇格してきた。彼のキャリアは少し不思議だった。天才と称賛されてグランプリ参戦スタートしたが、何らかの理由で少し見失っていた。今年はスピードを証明する非常に重要なチャンスがある。とても興味深いよ」

　最年少MotoGPライダー、クアルタラロが今後どのような活躍を見せるのかに注目が集まる。